Indépendance et événements contraires

Soit  \(A\) et \(B\) deux événements indépendants.

Le but de cet exercice est de prouver que  \(\overline{A}\) et \(B\) sont aussi indépendants.

Dans tout l'exercice, on pose  \(P_\overline{A}(B)=x\) .

Partie A   Étude d'un cas particulier

1. Compléter au mieux, en fonction de \(x\) , l'arbre pondéré suivant.

2. a. Quelle est la probabilité de l'événement \(B\) ?

    b.  En utilisant l'arbre pondéré précédent, montrer que \(x\) est solution de l'équation : \(0{,}3x+0{,}6\times 0{,}7=0{,}6\) .

     c. En déduire la valeur de \(P_{\overline{A}}(B)\) .

     d. En déduire que   \(\overline{A}\) et \(B\) sont indépendants.

Partie B   Généralisation

On pose dans cette partie \(P(A)=a\) , avec  \(a\neq 1\) . L'arbre pondéré est donc le suivant.

1. Démontrer que :   \((1-a)x+pa=p\) .

2. En déduire que  \(x=p\) .

3. Conclure.